Udogie saiu a coxer aos 50 minutos do empate 2-2 da equipa do norte de Londres com o Wolverhampton, no último domingo.
Cristian Romero, Micky van de Ven, Wilson Odobert, Richarlison, Ben Davies e Guglielmo Vicario estão todos afastados por lesão, enquanto o médio Rodrigo Bentancur, que recebeu o quinto cartão amarelo da época contra o Wolves, está suspenso.
"O Destiny, com o seu tendão, parece estar de fora cerca de seis semanas", disse Postecoglou aos jornalistas antes do jogo de sábado em casa com o Newcastle.
"Nenhum dos jogadores lesionados está de volta. Também tivemos um pouco de doença no campo, por isso alguns faltaram ao treino, mas vamos ficar bem. Richarlison e Mikey (Moore) são os dois próximos a sair da lista, esperemos que na próxima semana. O Ben, o Van de Ven e o Romero são todos da mesma altura, ou seja, no final de janeiro", anunciou o treinador.
Os Spurs estão em 11º lugar, com 24 pontos, e querem acabar com a série de três jogos sem vencer contra o quinto classificado, o Newcastle.
No entanto, os Spurs não têm um defesa central em forma e, com Udogie também de fora por um longo período, Postecoglou disse que Sergio Reguilon terá "mais oportunidades" de jogar na defesa.
Postecoglou disse que os Spurs precisam de reforçar o plantel na janela de transferências.
"Não é uma questão de pressionar, mas o clube está a trabalhar arduamente para conseguir ajuda para o grupo de jogadores. Não é segredo que precisamos de reforçar o plantel. Janeiro não é um mês fácil, nós entendemos", disse.
"Ao mesmo tempo, queremos ter certeza de que fazemos a melhor coisa para nós, em vez de entrar em pânico e trazer pessoas que não serão adequadas", acrescentou.