Heaney disputou 12 temporadas na liga, das quais seis e meia ao serviço dos Los Angeles Angels. Fez parte da equipa dos Texas Rangers que conquistou o título mundial em 2023.
O canhoto termina a carreira com um registo de 56-72, uma média de 4,57 e 1.156 eliminações por strike em 1.136,2 entradas lançadas, tendo permitido 1.113 rebatidas e 339 bases por bolas.
Depois de ter sido escolhido originalmente na 24.ª ronda do Draft da MLB de 2009 pelos Tampa Bay Rays, Heaney optou por ingressar na universidade e jogar na Oklahoma State University. Em 2013 voltou a apresentar-se ao draft e foi selecionado na nona posição pelos Miami Marlins.
Heaney apenas lançou em sete jogos (cinco como titular) pelos Marlins durante a sua época de estreia em 2014, antes de ser transferido para os Angels, onde permaneceu durante os sete anos seguintes (2015-2021).
Na segunda metade de 2021, representou os New York Yankees antes de assinar contrato com os Los Angeles Dodgers em 2022.
Permaneceu nos Rangers durante dois anos (2023-2024) antes de transferir-se para os Pittsburgh Pirates em 2025, ano em que voltou a ser transferido para os Dodgers, tendo lançado apenas num jogo.
Heaney terminou a temporada 2025 com uma média de 5,52 em 27 jogos (23 como titular) e 122,1 entradas lançadas.