Price progrediu no Alexandra Palace depois de ter derrotado Cullen por 4-3 num encontro emocionante no sábado, que foi levado até ao fim.
Inicialmente, Price tinha uma vantagem de 3-0 em sets e desperdiçou três dardos de jogo, permitindo que Cullen voltasse e forçasse uma decisão depois de acertar um impressionante final de 170 'Big Fish'.
Os dois trocaram sete breaks no último set e Price manteve a calma para acertar um duplo 20, marcando um confronto na quarta ronda contra o compatriota galês Jonny Clayton.
"Eu tenho muito mais no tanque, posso jogar muito melhor do que joguei esta noite", disse o campeão mundial de 2021, Price.
"O Joe dificultou muito as coisas, não parava de me atacar e pensei mesmo que ia perder o jogo. Estava desesperado para ultrapassar a linha da vitória depois de me ter colocado numa posição complicada, mas felizmente consegui".
A progressão de Price leva-o a encontrar-se com Clayton, que sobreviveu a um ataque de Daryl Gurney, da Irlanda do Norte, para vencer também por 4-3.
"Não estou a jogar contra o Jonny, estou a jogar contra o quadro, como sempre faço", acrescentou Price.
"Vou lá para cima e concentrar-me no meu jogo, vamos apertar as mãos depois e que ganhe o melhor".