O Bayern liderava por 2-0 e depois por 3-1 a dois minutos do fim, mas precisou de um golo nos descontos do jovem francês Mathys Tel para garantir a vitória, com dois golos tardios de Casemiro a darem ao United a possibilidade de, pelo menos, conquistar um improvável ponto.
Sané marcou o golo que abriu o marcador graças a um trabalho inteligente de Harry Kane.
Em declarações à DAZN, Sane disse que, embora o jogo "selvagem" tenha sido bom para os espectadores, a sua equipa quase deu a vitória por perdida.
"Conseguimos, mas temos de o fazer ao longo dos 90 minutos. Quando estamos a ganhar por 2-0, temos de dizer a nós próprios que vamos controlar o jogo. O resultado tem de vir de nós. Temos de assumir o controlo, vendo quem é um bom jogador para quem passar", disse Sané.
Recorde as principais incidências da partida
A vitória foi a 20.ª consecutiva do Bayern em jogos de abertura da Liga dos Campeões, mas Kane admitiu que as coisas ficaram um pouco perto demais para o conforto no final.
Kane, que marcou de penálti e agora tem cinco golos em cinco partidas pelo Bayern, disse que a sua equipa "ditou o ritmo, mas perdeu a concentração no final louco".
"No geral, é um bom começo de campanha contra uma equipa difícil como o Manchester United. Começámos bem a época e podemos melhorar em certas áreas, mas sinto que estamos a construir isso", defendeu o avançado inglês.
Kane elogiou o United apesar das suas dificuldades, dizendo que "estão a atravessar um período difícil, a sofrer, com muitas lesões também".
"É uma equipa com muito talento, como se viu nos últimos cinco minutos", elogiou.
O Bayern enfrenta o Bochum em casa no próximo sábado pela Bundesliga - o terceiro jogo em Munique nesta semana.