Recorde as incidências da partida
Martínez foi expulso na segunda parte em Old Trafford, depois de o defesa do United ter puxado o cabelo ao avançado do Leeds, Dominic Calvert-Lewin.
Tierney mostrou ao argentino um cartão vermelho depois de os árbitros do VAR lhe terem dito para consultar o monitor do relvado.
O Manchester United estava a perder por dois golos de Noah Okafor na primeira parte quando Martinez foi expulso.
Apesar de Casemiro ter recuperado um golo para a equipa de Carrick, esta não conseguiu evitar a segunda derrota do seu reinado de 11 jogos.
"Achei que os rapazes, pela forma como lidaram com o jogo, se mantiveram positivos e lutaram para conseguir alguma coisa depois de outra decisão chocante de expulsão do Lisandro", disse Carrick.
"Dois jogos seguidos tivemos decisões como essa contra nós, mas esta foi uma das piores que já vi".
Alegando que o contacto inicial de Calvert-Lewin com Lisandro tinha desempenhado um papel na reação do defesa-central, Carrick disse: "Podes atirar o teu braço à cara do Martinez e depois, como ele está desequilibrado por causa disso, está meio a lutar, meio a tocar na parte de trás do cabelo".
"Nem sei o que é que parece. Não é um puxão, não é agressivo. Ele toca-lhe e é expulso. O pior de tudo é que é expulso para anular o lance, um erro claro e óbvio. Chocante".
Lisandro Martinez poderá ser condenado a três jogos de castigo e, questionado sobre se o United iria recorrer, Carrick disse: "Vou ter de discutir o assunto, mas acho que foi uma má decisão".
Carrick também ficou frustrado com o facto de Calvert-Lewin ter escapado após entrada sobre o defesa do United, Leny Yoro, no momento que antecedeu o golo de abertura de Okafor.
"É óbvio que sofremos um golo quando Leny Yoro leva uma pancada com o antebraço na nuca e eles marcam o primeiro golo", afirmou.
"Eles não decidiram anular a decisão. Foi um grande momento do jogo".
O Manchester United continua em terceiro lugar na Premier League, sete pontos à frente do sexto classificado Chelsea na corrida para se qualificar para a Liga dos Campeões através de um resultado entre os cinco primeiros.
Com uma vitória nos seus últimos quatro jogos, o Manchester United desloca-se ao Chelsea no sábado para um confronto crucial na luta pelos lugares da Liga dos Campeões.
"Este é um jogo. Vamos certamente analisá-lo e tentar melhorar. Temos outro grande jogo, um jogo importante na próxima semana e um grande final de época", afirmou Carrick.
"Estamos numa posição muito boa. Esta noite é uma desilusão; não queríamos perder e não queríamos que as decisões do árbitro fossem tão más contra nós, mas vamos seguir em frente. Temos um grande final de temporada e há muito para ser positivo".