De acordo com o The Athletic, o campeão da Premier League apresentou uma proposta de 80 milhões de libras mais 10 milhões adicionais (93 milhões de euros, mais 11 adicionais) pelo internacional inglês.
O City está na luta com o Arsenal, que viu a proposta que tornaria o médio o jogador mais caro da história dos Gunners ser rejeitada pelo West Ham na semana passada.
Os londrinos também ofereceram um pacote total de 90 milhões de libras, mas estruturaram-no com 75 milhões de libras garantidos e 15 milhões de libras em objetivos.
Rice tem contrato com o West Ham até 2024, mas os Hammers têm a opção de prolongar o contrato por mais um ano.
No entanto, o presidente David Sullivan disse que espera que o jogador de 24 anos deixe o clube neste verão, após o trunfo da Liga Conferência Europa.
Rice fez a estreia pelo West Ham em 2017 e acumulou 245 partidas pelo clube, além de se estabelecer como o capitão.