O internacional sueco começou a sua carreira no Manchester United antes de se juntar ao Forest e de se tornar um jogador fundamental na equipa de Nuno Espírito Santo na época passada.
Elanga registou uns impressionantes seis golos e 11 assistências, tendo o Forest terminado em sétimo lugar na Premier League.
O jogador chega ao Newcastle com a ambição de se afirmar na posição de extremo-direito, uma vez que os Magpies têm tido dificuldades em encontrar profundidade nessa zona do terreno nos últimos tempos.
O treinador do Newcastle, Eddie Howe, disse ao site do clube: "Estou muito feliz por dar as boas-vindas a Anthony ao Newcastle United. Ele tem sido um alvo importante para nós, por isso estou muito feliz por garanti-lo nesta parte inicial da pré-temporada".
"É um talento empolgante com atributos que fazem dele uma ameaça única no ataque. O seu ritmo, energia e capacidade para criar e marcar golos vão fortalecer-nos e complementar a nossa forma de jogar".
Elanga disse: "Estou entusiasmado, estou muito feliz, mas o mais importante é que estou pronto. Estou pronto para vestir esta camisola preta e branca, para lutar verdadeiramente por esta equipa e dar tudo por esta apaixonada base de adeptos que vive e respira futebol".
"Tive dois anos fantásticos no Nottingham Forest, que me ajudaram muito a tornar-me no jogador que sou hoje, mas estou muito feliz por estar aqui agora. O clube ganhou um troféu na época passada e está a construir algo único, algo especial de que quero realmente fazer parte".
"Quero realmente integrar a cultura, o ADN deste clube. Estou muito feliz por estar aqui e mal posso esperar para começar", finalizou.
Elanga jogou 82 vezes em todas as competições pelo Forest e, antes disso, disputou 55 jogos pelo Manchester United, além de ter feito 22 partidas pela seleção sueca.
O seu primeiro jogo oficial pelo Newcastle poderá acontecer na estreia na Premier League contra o Aston Villa.