O futuro de Rashford parece estar em risco depois de o jogador de 27 anos, um produto das camadas jovens do United, ter ficado de fora do dérbi de Manchester.
O United venceu o Manchester City no domingo, com Rashford a dizer ao jornalista Henry Winter na terça-feira que estava "pronto para um novo desafio e para os próximos passos".
"Não me importo com o que ele disse, acho que está correto. Por vezes, um acordo funciona para toda a gente. Há um ou dois anos que se está a passar, é óbvio que há ali algum talento, ele está no clube desde miúdo. Uma mudança faria muito bem a ele, à sua equipa e à sua família. Ir jogar, talvez ir para o estrangeiro ou o que quer que seja", disse o antigo capitão do United , Keane, ao podcast Stick to Football.
O atual contrato de Rashford em Old Trafford vai até 2028 e, apesar de ter sido associado a vários outros clubes, o treinador do United, Ruben Amorim, está interessado em que o avançado inglês fique.
Mas Keane disse: "Penso sempre que quando se perde a fome, é difícil recuperá-la. Esqueçam os poucos trocos que ele ganhou ao longo dos anos - e ouçam, bom para ele - mas nós sabemos que os grandes jogadores não têm nada a ver com isso."
Keane acrescentou que a saída do United poderia reavivar a "verdadeira fome" de Rashford pelo sucesso em campo: "Penso que há uma boa hipótese de ele recuperar essa fome com uma mudança de clube e de cenário, um novo país, uma nova liga, o que quer que seja, mas não creio que a recupere no United".
Amorim, em declarações aos jornalistas antes do jogo de quinta-feira com o Tottenham, a contar para os quartos de final da Taça da Liga, instou Rashford a "falar com o treinador" em vez de expor publicamente as suas queixas.
Rashford marcou 138 golos em 426 jogos pelo clube desde a sua estreia como sénior em 2016.
Rashford marcou apenas 15 golos em 67 jogos desde que assinou um novo contrato lucrativo há 18 meses, com a especulação sobre o seu futuro a aumentar nos últimos dias.