Recorde as incidências da partida
Postecoglou tinha planeado um início encorajador para a sua primeira época no comando do Tottenham, com vitórias sucessivas na Premier League contra o Manchester United e o Bournemouth, depois de um empate contra o Brentford.
Mas o ex-treinador do Celtic pagou o preço por ter feito nove alterações na sua equipa inicial em Craven Cottage.
Postecoglou deu uma estreia completa a Manor Solomon, enquanto Giovani Lo Celso e Pierre-Emile Hojbjerg foram titulares, apesar das especulações sobre os futuro de ambos.
O técnico do Fulham, Marco Silva, também fez seis alterações, mas foram os suplentes do Tottenham que tiveram dificuldades.
O auto-golo de Micky van de Ven, aos 19 minutos, deu a vantagem ao Fulham, quando o defesa desviou o cruzamento de Tom Cairney para o guarda-redes Fraser Forster.
O Tottenham aproveitou um incidente curioso que deixou o Fulham reduzido a 10 homens para empatar, aos 56 minutos.
Um problema com a bota de Kenny Tete fez com que o defesa do Fulham tivesse de correr pelo túnel para encontrar um substituto no balneário.
Momentos mais tarde, Ivan Perisic rematou cruzado da posição em que Tete estaria a defender e Richarlison cabeceou para o fundo das redes.
Mas o Tottenham não conseguiu encontrar passar pela frente e, nos penáltis, o remate de Davinson Sánchez foi defendido por Marek Rodak, antes de Tete, já com os dois pés calçados, ter marcado o penálti decisivo.
O Tottenham, que já não vence títulos desde 2008, tem menos uma competição para disputar.
Postecoglou introduziu as estrelas James Maddison e Son Heung-min na segunda parte, mas defendeu a sua decisão de selecionar os seus jogadores menos utilizados.
"Como é que vou conhecer os meus jogadores? Isso não significa que a Taça, ou qualquer outro jogo, não seja uma prioridade para nós", disse o treinador australiano.
"Estamos na fase de descoberta e precisamos de dar aos jogadores a oportunidade. Vamos precisar deles se tivermos interrupções ao longo do caminho devido a lesões", explicou.
"Absolutamente incrível"
O Salford, do quarto escalão, propriedade conjunta das antigas estrelas do Manchester United David Beckham, Gary Neville, Ryan Giggs e Paul Scholes, venceu o Leeds por 9-8 nos penáltis, depois de um empate 1-1 com o clube do Championship.
"Absolutamente incrível. Nunca imaginei que este jogo fosse tão longe, muito menos que fosse para os penáltis e que ganhasse. Foi uma grande noite para todos os adeptos do Salford", afirmou Neville.
"Nós, os proprietários, adoramos o Manchester United e também adoramos este clube", acrescentou Neville, que espera um reencontro com o seu antigo clube na terceira ronda.
"Ter a oportunidade de jogar contra eles é a noite especial que queremos", assumiu.
Recorde o Salford-Leeds
O Luton derrotou o Gillingham, do quarto escalão, por 3-2, em Kenilworth Road, e venceu pela primeira vez esta época.
Depois de perder para Brighton e Chelsea nos seus dois primeiros jogos da Premier League, Jacob Brown, Alfie Doughty e Cauley Woodrow marcaram para o Luton, que está a jogar na Premier League pela primeira vez em 31 anos.
Andoni Iraola, técnico do Bournemouth, conquistou a sua primeira vitória no futebol inglês com o golo de Ryan Christie no último minuto, que garantiu o triunfo por 3-2 sobre o Swansea, da segunda divisão. O espanhol havia empatado com o West Ham e perdido para Tottenham e Liverpool nos três primeiros jogos do campeonato.
O Brentford precisou dos penáltis para avançar após um empate 1-1 com o Newport, da quarta divisão.
O Crystal Palace não se deixou abater e venceu o Plymouth, do segundo escalão, por 4-2, graças a três golos de Jean-Philippe Mateta.