O americano de 34 anos fez a sua ronda mais baixa em nove grandes torneios e igualou a primeira ronda mais baixa de qualquer US Open em Oakmont, os 66 do americano Andrew Landry em 2016.
"Eu sabia que ia ser difícil", disse Spaun. "Tentei apenas esforçar-me", acrescentou.
Spaun começou nos últimos nove buracos, fez birdie em quatro dos primeiros oito buracos e depois fez o par até ao clubhouse para fazer apenas a oitava volta sem bogeys do Open dos EUA em Oakmont, sendo anfitrião pela 10.ª vez.
"Esta é provavelmente uma das minhas melhores voltas de putting de toda a época", disse Spaun.
Em segundo lugar, com três abaixo do par, depois de birdies consecutivos aos seis e sete buracos, ficou o sul-coreano Kim Si-woo, após 16 buracos.
O número um do mundo, Scottie Scheffler, estava pronto para começar a sua primeira ronda apenas alguns minutos depois de Spaun ter chegado ao clubhouse, o três vezes vencedor de grandes torneios era o favorito, mesmo quando Oakmont, embora vulnerável, tinha perigo à espreita em todos os buracos.
O número dois do mundo, Rory McIlroy, estava a dois acima após 16 buracos, juntamente com os outros vencedores de grandes torneios, Wyndham Clark e Gary Woodland.
O atual campeão Bryson DeChambeau estava a três acima, também com dois buracos para jogar.
Spaun, que ganhou seu único título do PGA Tour no Texas Open de 2022, perdeu um playoff para McIlroy no Players Championship deste ano.
Spaun afundou um 20-footer para birdie no 10 para começar e deixou cair i seu terceiro tiro dentro de três pés no par-five 12 para configurar um birdie.
Também fez birdie no par três do 16.º e escapou ao rough do 17.º para fazer um putt de 11 pés e chegar aos quatro abaixo.
Spaun, que nunca tinha ficado entre os 20 primeiros em oito participações anteriores em grandes torneios, fez o par no 18 para fazer 31 pancadas, o melhor início de nove buracos de sempre num Open dos EUA em Oakmont.
Depois de encontrar os bunkers Church Pew à esquerda do fairway no quarto buraco do par 5, Spaun fez um putt de teste para salvar o par.
Também encontrou um bunker no sexto buraco, par três, mas fez outro putt longo para o par.
"Estes são enormes, especialmente no US Open, para manter a ronda e não ir para o outro lado", disse Spaun.
McIlroy, que completou um Grand Slam na sua carreira ao vencer o Masters em abril, fez dois birdies nos primeiros nove buracos, afundando um putt de 27 pés no 11 e alcançando o green em dois no 12 para fazer outro birdie.
Mas McIlroy tropeçou com um bogey de três putts no primeiro.
Precisou de três pancadas para escapar ao rough da direita, mas fez um putt de 30 pés para salvar um bogey no quarto par cinco.
Seguiram-se dois bogeys e um duplo bogey.
Phil Mickelson, que faz 55 anos na segunda-feira, estava a quatro acima do par 15 na sua tentativa de completar um Grand Slam na carreira depois de seis vice-campeonatos no US Open.
Lowry e Moldovan têm momentos de magia
O irlandês Shane Lowry fez um buraco no fairway a 160 metros para o primeiro eagle do Open dos Estados Unidos no terceiro buraco de Oakmont, mas estava a seis acima após 15 buracos.
O americano Maxwell Moldovan fez o primeiro eagle do US Open no primeiro buraco, fazendo um buraco no fairway a 189 jardas e depois olhando para o céu com um sorriso. Ele fez um 76.
Scheffler começa a partida ao lado do seu compatriota americano Collin Morikawa, duas vezes vencedor de grandes torneios e quarto classificado no ranking mundial, e do norueguês Viktor Hovland.
Scheffler, cujas nove vitórias no ano passado incluíram o ouro olímpico de Paris, ganhou três das suas últimas quatro partidas.
Depois de vencer o PGA Championship no mês passado e conquistar o seu terceiro título importante, Scheffler, duas vezes vencedor do Masters, está a tentar tornar-se o primeiro homem a ganhar títulos importantes consecutivos desde Jordan Spieth em 2015.