O jogador de 20 anos pretende sair, segundo relatos, estando a ser seguido pelo Newcastle e pelo Nottingham Forest.
O seu futuro ficou em dúvida devido às recentes contratações recorde do clube, Mateus Fernandes vindo do West Ham, e Sandro Tonali, do Newcastle.
O treinador dos Spurs, De Zerbi, negou que Bergvall lhe tivesse comunicado a intenção de sair, depois de o ter lançado de início no particular de pré-época frente ao Sydney FC na quarta-feira.
O Tottenham venceu por 4-2 nos penáltis após o empate 1-1 no tempo regulamentar.
"Tenho sido sempre muito claro com ele e convosco. Gostava que ele ficasse connosco", afirmou De Zerbi.
"Acho que ele tem potencial para ser um jogador de topo. Mas não quero convencer ninguém a ficar. O Tottenham já é, mesmo sem mim, um grande clube e não estamos aqui para convencer ninguém a ficar. Não posso garantir, a nenhum jogador do mundo, um lugar assegurado no onze inicial".
O avançado francês Mathys Tel marcou um livre direto espetacular, colocando os Spurs a vencer por 1-0 ao intervalo frente ao Sydney, mas a equipa não conseguiu aproveitar e o novo reforço japonês dos anfitriões, Takahiro Sekine, empatou.
A vitória do Tottenham nas grandes penalidades surgiu depois do triunfo por 2-0 frente ao Auckland FC no domingo, enquanto a equipa se prepara para a estreia na Premier League inglesa diante do Brentford a 22 de agosto.
"Acho que jogámos bem, sobretudo na primeira parte", disse.
"Na segunda parte, mudámos muitos jogadores, mas mantivemos boa qualidade de jogo, boas exibições e penso que estamos a trabalhar muito bem com os jogadores mais jovens".
Tonali falhou o primeiro jogo da digressão do Tottenham devido a um pequeno problema físico, mas jogou toda a segunda parte, enquanto o também recém-chegado Andy Robertson fez a sua estreia com 25 minutos em campo.
No entanto, não houve qualquer utilização de Mateus Fernandes, cuja ausência De Zerbi justificou com "apenas fadiga, na barriga da perna, e também por isso, decidimos não correr riscos".
O treinador italiano sugeriu que o português também deverá falhar o último jogo da digressão do Tottenham, frente ao Chelsea, em Sydney, no sábado.
James Maddison foi outra ausência, tal como Kevin Danso, Destiny Udogie, Micky van de Ven, Jan Paul van Hecke e Dominic Solanke.
"Achei que ainda não estavam prontos para jogar sem risco", afirmou De Zerbi.
"Talvez alguns deles possam jogar no próximo jogo, no sábado frente ao Chelsea. Talvez não de início, talvez com o Robertson e o Sandro Tonali a começarem. Trata-se de gerir os jogadores. Não gostaria de correr riscos".