A equipa de Postecoglou recuperou após a dececionante eliminação da Taça da Liga, a meio da semana, contra o Fulham, registando a terceira vitória consecutiva na Premier League.
A abertura de Lyle Foster aos quatro minutos para o Burnley poderia ter provocado outro fracasso do Tottenham, mas a equipa do norte de Londres respondeu em grande estilo, graças à finalização letal de Son.
O avançado sul-coreano empatou aos 16 minutos, antes de Cristian Romero e James Maddison marcarem para colocar o Tottenham no comando do marcador.
Son marcou dois golos em quatro minutos, logo após a hora de jogo, fazendo o seu primeiro hat-trick desde 17 de setembro do ano passado.
O golo tardio de Josh Brownhill não serviu de consolação para o Burnley, que não conseguiu vencer, enquanto o Tottenham, segundo classificado, aumentou para quatro jogos a sua invencibilidade no campeonato.
Questionado se o desempenho de Son mostrou como o Tottenham pode lidar com a ausência de Harry Kane, depois da transferência do capitão para o Bayern Munique, Postecoglou explicou: "Não é exatamente por isso, mas é uma das razões."
"Tenho uma imagem na minha cabeça sobre como quero que a equipa seja e continuo a dizer que ainda estamos no início. Ainda estamos a construir e há muito a fazer. Trata-se de juntar todas as peças", explicou o treinador.
Perder Kane foi um grande golpe para o Tottenham antes da nova temporada, mas Postecoglou disse que a saída do seu recordista de golos pode permitir que outros brilhem.
Son e Maddison serão fundamentais para a reforma de Postecoglou, já que o ex-treinador do Celtic tenta levar um futebol divertido aos adeptos que não teve desempenhos atraentes durante os reinados sombrios de José Mourinho, Nuno Espírito Santo e Antonio Conte.
"Há alguns futebolistas muito bons neste clube e eles têm a capacidade de jogar da forma que esta equipa precisa", disse Postecoglou.
"Son, quer jogue ao meio ou à direita, tem todas as características para jogar da forma que queremos. Penso que o dia de hoje foi um verdadeiro testemunho para Son, Madders e Romero, pela forma como assumiram essa responsabilidade, não apenas com palavras, mas com ações e não apenas no dia do jogo, mas diariamente. Isso é tão encorajador para mim como qualquer outra coisa, porque por muito bons que sejam individualmente, têm esse espírito de equipa e isso é importante para mim", acrescentou o treinador do Tottenham.