Recorde as incidências da partida
Chiedozie Ogbene deu aos Hatters uma vantagem surpreendente na primeira parte, contra uma equipa do Liverpool sem Mohamed Salah, Darwin Núñez e Diogo Jota, entre outros.
A dupla internacional neerlandesa Virgil van Dijk e Cody Gakpo virou o jogo em dois minutos, pouco antes da hora marcada, antes de Luis Diaz e Harvey Elliott garantirem a vitória.
A vitória coloca os homens de Klopp quatro pontos à frente do Manchester City e cinco à frente do terceiro classificado, o Arsenal, mas com mais um jogo disputado do que os dois rivais pelo título.
"A forma como o estádio e a equipa mudaram o jogo é excecional", afirmou Klopp.
"Só temos de ser mais calmos nos momentos decisivos. Quando ficámos mais calmos, houve fogo de artifício. Foram golos fantásticos. É uma noite fantástica", acrescentou o treinador do Liverpool.
O plantel do Liverpool já estava sobrecarregado por lesões antes da perda de Curtis Jones, Diogo Jota e Darwin Núñez na primeira parte da vitória de sábado por 4-1 em Brentford.
Salah marcou no seu regresso de uma lesão no tendão no fim de semana, mas foi forçado a entrar como suplente mais cedo do que o previsto e sofreu um contratempo que o manteve de fora.
Klopp já estava sem Alisson Becker, Trent Alexander-Arnold, Joel Matip e Thiago Alcântara devido a lesão, e os Reds foram forçados a trabalhar mais pelos três pontos do que teriam desejado, a poucos dias da final da Taça da Liga de domingo, contra o Chelsea.
No entanto, Salah e Darwin Núñez poderão estar aptos a tempo de jogar em Wembley.
"Temos de ver, mas disse-o antes do jogo, enquanto tivermos 11 jogadores, vamos tentar", acrescentou Klopp.
O Luton empatou com o Liverpool (1-1) quando as equipas se defrontaram em Kenilworth Road, em novembro, e tem o hábito de incomodar a elite da Premier League no seu regresso à primeira divisão.
No entanto, os visitantes quase não ameaçaram, a não ser quando saíram na frente aos 12 minutos.
Tahith Chong invadiu a área do Liverpool e, quando o seu potente remate foi desviado pelas pernas de Caoimhin Kelleher, Ogbene cabeceou ao poste mais distante.
Todas as oportunidades do Liverpool antes do intervalo couberam a Luis Díaz, mas o colombiano desperdiçou os seus seis remates à baliza.
Jurgen Klopp estava a incitar a multidão em Anfield em todas as oportunidades e a sua equipa finalmente abriu as comportas aos 56 minutos.
O capitão Van Dijk deu o exemplo, ao desviar do seu marcador e rematar para o canto de Alexis Mac Allister.
"A reação demonstrada hoje foi extraordinária e é algo de que precisamos para o resto da época", disse Van Dijk.
"Hoje foi um grande dia!", acrescentou o central.
Mac Allister foi o criador, novamente, segundos depois, quando o Luton voltou a sair de uma bola parada.
O médio argentino foi escolhido por Conor Bradley e o seu cruzamento foi cabeceado por Gakpo para o 2-1.
O Liverpool continuou a atacar, mesmo com a vantagem no marcador, e só um gesto heroico de Thomas Kaminski impediu que Gakpo e Van Dijk marcassem o segundo golo da noite.
E um Klopp animado pôde finalmente relaxar a 19 minutos do fim, quando Diaz, desta vez, manteve a compostura para marcar o seu 10.º golo da época.
Elliott fechou o marcador na sua 100.ª partida pelo Liverpool, ao mandar uma bola no ângulo superior.
A derrota deixa o Luton ainda na zona de despromoção, devido à diferença de golos.
"Na segunda parte jogámos nas mãos deles e o contra-ataque foi incrível, experimentámos aquele futebol a todo o gás", disse o treinador do Luton, Rob Edwards.
"Sabíamos que hoje seria uma tarefa muito grande. Mostrámos durante muito tempo que somos uma boa equipa e que podemos competir", acrescentou o técnico.