Recorde as incidências da partida
Haaland tinha visto um penálti defendido na primeira parte, antes de Evanilson colocar os Cherries em vantagem.
O norueguês fez as pazes com o empate, aos quatro minutos do segundo tempo, antes de ser forçado a sair com uma lesão no tornozelo.
O seu substituto, Omar Marmoush, precisou de apenas dois minutos para marcar o golo da vitória, após uma segunda assistência do impressionante Nico O'Reilly, e o City garantiu a passagem às meias-finais, contra o Nottingham Forest.
"Sete vezes consecutivas a chegar às meias-finais da Taça de Inglaterra... isto é extraordinário. Esta geração de jogadores conseguiu-o", afirmou o treinador do City, Pep Guardiola.
O City tem sido uma sombra da equipa que conquistou quatro títulos consecutivos da Premier League esta época e Guardiola disse antes do jogo que nem a glória na Taça de Inglaterra salvaria uma época miserável.
O colapso dos campeões ingleses na Premier League começou em Bournemouth, em novembro, com uma derrota por 2-1 que deu início a uma série de seis derrotas em oito jogos.
Mas Guardiola elogiou a diferença de atitude da sua equipa entre essa altura e agora.
"Viemos aqui (em novembro) com os chinelos calçados contra uma equipa que, se não competirmos, é impossível", acrescentou Guardiola.
"No futebol é preciso correr. As pessoas dizem que as minhas equipas jogam bem, mas não, o que importa é o quanto corremos, o quanto lutamos e, em muitos jogos desta época, isso não aconteceu. O Nico marcou dois golos contra o Plymouth e o seu impacto hoje foi extraordinário. Ele vai jogar na meia-final, de certeza. Adoramos a Taça de Inglaterra. Esperemos que consigamos chegar à final", acrescentou Pep Guardiola.
"Estou apenas a dar o meu melhor em cada jogo e a tentar ajudar a equipa o mais possível, e estou contente por ter conseguido fazê-lo até agora", disse O'Reilly à ITV no final do jogo.
"Ele (Guardiola) estava a dizer-me para correr atrás, tentar subir, entrar quando o extremo saísse. Estava a tentar fazer isso", acrescentou.
Haaland falha três vezes
Haaland deveria ter castigado uma defesa improvisada dos Cherries, que não contava com Dean Huijsen e Milos Kerkez, suspensos, com um "hat-trick" antes do intervalo.
Na sua primeira oportunidade, cabeceou para fora após um cruzamento de Matheus Nunes.
Um toque com a mão de Tyler Adams deu ao City a oportunidade de passar para a frente na marcação de uma grande penalidade. Mas, pela terceira vez nos seus últimos seis pontapés de baliza, Haaland não conseguiu acertar, com Kepa Arrizabalaga a fazer uma bela defesa.
A falha parecia ainda estar na mente de Haaland quando, momentos mais tarde, passou por cima de Kepa e mandou a bola por cima do travessão, com apenas o guarda-redes espanhol para bater.
Aos 21 minutos, o Bournemouth deu um golpe de misericórdia no City.
Matheus Nunes, que estava a desempenhar um papel pouco habitual como lateral-direito, entregou a bola a David Brooks, cujo cruzamento foi desviado por Justin Kluivert e rematado à queima-roupa por Evanilson.
Guardiola respondeu com a entrada do médio O'Reilly, de 20 anos, como lateral-esquerdo improvisado.
O'Reilly causou um impacto imediato com uma corrida desenfreada pela esquerda e um cruzamento perfeito, desta vez Haaland não falhou o seu 30.º golo da época.
Momentos depois, o avançado norueguês saiu lesionado, num cenário preocupante para Guardiola, com o City ainda a lutar pela qualificação para a Liga dos Campeões da próxima época nos seus últimos nove jogos da Premier League.
Mas a contratação de Marmoush pelo City na janela de transferências de janeiro já parece ser um negócio inteligente.
O egípcio já marcou seis golos em 11 jogos desde que foi transferido do Eintracht Frankfurt por 63 milhões de euros.
Se Kepa foi um dos heróis do Bournemouth na primeira parte, a culpa foi dele no golo da vitória, pois o remate de Marmoush escapou-lhe após um passe de O'Reilly.
"Na primeira parte jogámos muito bem, mas na segunda parte o jogo foi definitivamente para eles", disse o treinador do Bournemouth, Andoni Iraola.
"Não conseguimos manter a mesma intensidade no segundo tempo, fomos muito mais passivos e sem energia, especialmente na frente", acrescentou.