Herbert lidera com uma pancada de vantagem sobre Bryson DeChambeau, que terminou a sua sequência de cortes falhados em majors este ano em grande estilo, com dois birdies nos últimos buracos para um resultado de 66.
O número 97 do mundo, Herbert, dobrou-se sobre o seu putter em desespero ao ver escapar um curto putt para par no 18.º, perdendo a oportunidade de ser o primeiro homem a registar uma volta de 61 num major.
Burns seguiu o exemplo menos de uma hora depois, após seis birdies nos últimos nove buracos, incluindo um chip-in do bunker no 18.º, passando para cinco abaixo no torneio.
Sob um sol radiante em Southport, na costa noroeste de Inglaterra, Herbert começou em grande com birdies nos três primeiros buracos e somou mais três no quinto, sétimo e nono, completando a primeira metade do percurso em 28 pancadas, um recorde do British Open para os primeiros nove buracos.
A sua dinâmica continuou com birdies no 12.º e 13.º antes de uma aproximação perfeita lhe permitir mais um birdie no par quatro do 16.º, ficando a um passo da história.
Apesar de um drive desviado no último buraco, ainda deveria ter conseguido salvar o par, mas o momento, perante uma multidão enorme, pareceu afetar o jogador de 30 anos, que com dois putts hesitantes acabou por registar o seu primeiro bogey do dia.
"Não me passou despercebida a quantidade de história nos majors e a oportunidade que tive de, obviamente, bater o recorde", afirmou Herbert, que passou os últimos dois anos na dissidente LIV Tour.
"Igualar o recorde também é algo de que me orgulho muito", acrescentou.
Burns fez o percurso inverso até às 62 pancadas, com seis abaixo nos últimos nove buracos, entrando assim na luta pelo título.
O número 18 do mundo converteu um birdie de seis metros no 17.º e depois fez chip-in junto ao green no último buraco, garantindo a sua parte na história.
"Até eu próprio fiquei surpreendido", disse Burns.
"Acho que o final nos últimos três buracos foi apenas um bónus", acrescentou.
Ambos os jogadores igualaram o recorde do campo estabelecido por Branden Grace na última vez que o British Open se disputou em Birkdale, em 2017, uma das cinco voltas anteriores de 62 em majors.
McIlroy passa o cut
O bicampeão do US Open DeChambeau tinha falhado o cut nos três majors anteriores deste ano e tradicionalmente tem tido dificuldades no British Open, mas está a aproveitar ao máximo as condições meteorológicas favoráveis.
O norte-americano superou o seu parceiro de jogo Scottie Scheffler e garantiu presença no grupo final com Herbert no sábado.
O número quatro do mundo Cameron Young está bem posicionado para conquistar o seu primeiro major, com seis abaixo do par, a par do líder da véspera Jackson Suber.
O campeão em título Scheffler está a quatro pancadas da liderança, mas poderia facilmente estar pelo menos em partilha do primeiro lugar, não fossem uma série de putts curtos falhados com oportunidades de birdie para o número um do mundo.
Rory McIlroy recuperou de uma ronda inicial difícil de 72, que incluiu seis bogeys, conseguindo pelo menos colocar-se em posição de subir na tabela ao longo do fim de semana.
O seis vezes campeão de majors assinou uma volta de 67, passando para uma abaixo no torneio.
"Penso que o principal objetivo hoje era estar aqui para o fim de semana, e consegui", afirmou McIlroy.
"Acho que se conseguir começar bem amanhã, ficar quatro ou cinco abaixo no torneio, estarei mesmo na luta", acrescentou.
A reta final de Tommy Fleetwood foi acompanhada por aplausos ensurdecedores na sua terra natal, com três birdies nos últimos quatro buracos, chegando a quatro abaixo do par.
O número três do mundo Matt Fitzpatrick e Justin Rose foram dois dos grandes nomes a falhar o cut.