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A colombiana, 66.ª do ranking, ofereceu uma resistência formidável depois de cometer uma dupla falta que lhe custou o tie-break disputado do primeiro set, embora tenha precisado de assistência médica para conseguir ultrapassar problemas nas costas.
Osorio salvou dois match points, mas Gauff, número quatro mundial, foi buscar forças ao fundo para resistir nos longos rallies, graças a um sólido revés e a respostas cruzadas.
"Foi difícil, não foi o jogo mais limpo", afirmou a norte-americana de 22 anos depois do encontro de duas horas e 18 minutos.
"Fico apenas feliz pela forma como consegui voltar a concentrar-me".
Na próxima ronda, defrontará a espanhola Cristina Bucsa ou a adolescente chinesa Sun Xinran, número 582 mundial.
Mais tarde, este sábado, a número um mundial Elena Rybakina tem encontro agendado com a arménia Alina Charaeva, 118.ª classificada, na sessão noturna.
No quadro masculino, o primeiro cabeça de série Alexander Zverev vai defrontar o jogador da casa Shang Juncheng, procurando marcar encontro com Novak Djokovic nos quartos de final.
