A grande penalidade de Harry Kane parecia ter resolvido o encontro e levar o Tottenham ao terceiro lugar do campeonato, depois de Abdoulaye Doucoure ter sido expulso por ter dado uma estalada ao avançado inglês.
Mas as equipas voltaram a ficar em igualdade numérica depois de Lucas Moura também ter visto o cartão vermelho, dois minutos antes da bomba de Keane ter conquistado um ponto vital na luta do Everton pela manutenção.
O empate foi o suficiente para tirar os homens de Sean Dyche da zona de despromoção e deixá-los no 15.º lugar.
O Tottenham tem agora os mesmos pontos que o Newcastle e o Manchester United em quarto lugar, mas tem dois jogos a mais do que os rivais na luta por um lugar na Liga dos Campeões da próxima época.
"Depois do cartão vermelho, foram muito mais agressivos do que nós", disse Stellini depois do sexto jogo consecutivo em que os Spurs não ganham fora de casa.
"Temos de ser uma equipa que joga em casa e fora com o mesmo desejo e agressividade", acrescentou.
Stellini assumiu o comando pela primeira vez desde o despedimento de Antonio Conte, de quem era adjunto.
O destino de Conte foi traçado depois de uma conferência de imprensa furiosa do italiano, que culpou jogadores e administração no final do jogo com o lanterna-vermelha Southampton, em que o Tottenham deixou-se empatar (3-3) ao sofrer dois golos perto do fim.
Mas houve poucos sinais de uma mudança de ventos no clube, já que os visitantes voltaram a desperdiçar uma vantagem contra uma equipa que luta pela manutenção.
Já depois da expulsão de Doucoré, Keane derrubou Cristian Romero na grande área e concedeu uma grande penalidade. Chamado a converter, Kane mandou o colega de seleção Jordan Pickford para um lado e a bola para o outro.
"A expulsão mudou a sensação (do jogo), mas a nossa mentalidade está sempre a crescer. Os nossos jogadores estão a elevar muitos os seus padrões, mesmo em desvantagem, levámos o jogo para cima do Tottenham", disse Sean Dyche.
O Tottenham não soube segurar a vantagem no marcador, nem a numérica, já que perto do apito final Lucas Moura entrou fora de tempo sobre Keane e também viu o cartão vermelho. O esforço do Everton foi recompensado quando o defesa, recuperado da entrada, teve espaço à entrada da área e atirou uma bomba para o canto superior.
