O jogador de 26 anos, terceiro na lista de melhores marcadores de sempre da Escócia, com 24 golos em 39 ensaios, esperava regressar de um problema no quadríceps a tempo do jogo da semana passada, em casa, contra a Inglaterra.
Mas agora vai falhar as Seis Nações pelo segundo ano consecutivo.
"Sentimos muito por Darcy, porque ele é um jogador que se dedica de corpo e alma ao râguebi", disse o treinador do Edinburgh, Sean Everitt, que acrescentou que Graham estará fora de ação até quatro meses.
"Ele adora jogar por este clube e é um escocês orgulhoso que tem muito orgulho em representar o seu país. Temos toda a confiança de que Darcy vai recuperar da cirurgia da próxima semana com a mesma vontade e determinação com que treina e joga", explicou.
Graham marcou cinco ensaios no Campeonato do Mundo, mas sofreu uma lesão na anca no último jogo da fase de grupos contra a Irlanda, a 7 de outubro.
Regressou a Edimburgo em dezembro, mas fez apenas quatro jogos antes de sofrer o problema no quadríceps.
O central do Glasgow, Sione Tuipulotu, deverá falhar o resto das Seis Nações, depois de ter sofrido uma lesão no joelho durante a vitória de 30-21 sobre a Inglaterra na Taça de Calcutá, em Murrayfield.
A Escócia, que venceu dois dos seus três jogos das Seis Nações esta época, continua a sua campanha no Campeonato contra a Itália, em Roma, a 9 de março.