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A equipa de Pochettino sobreviveu a um susto contra o Leicester, reduzido a 10 jogadores, ao perder uma vantagem de dois golos ao intervalo em Stamford Bridge, antes de conseguir uma vitória dramática por 4-2.
Os golos de Marc Cucurella e Cole Palmer colocaram o Chelsea no comando, mas o autogolo de Axel Disasi e o soberbo empate de Stephy Mavididi provocaram uma resposta furiosa dos adeptos do Chelsea.
Já frustrados com a queda da sua inconsistente equipa para o 11.º lugar da Premier League, os adeptos dos Blues vaiaram Sterling durante uma prestação negatia, que incluiu um penálti falhado na primeira parte e mais assobios quando foi substituído.
Pochettino também foi vaiado e sujeito a cânticos de "não sabes o que estás a fazer" quando substituiu Mykhailo Mudryk.
O Chelsea aliviou a atmosfera tóxica depois de Callum Doyle, do Leicester, ter sido expulso por uma falta sobre Nicolas Jackson, com golos de Carney Chukwuemeka e Noni Madueke nos descontos, garantindo assim a sua segunda presença nas meias-finais da Taça esta época.
Os vice-campeões da Taça da Liga terão de melhorar muito esta exibição desleixada para conquistar o primeiro troféu doméstico do Chelsea, desde a Taça de Inglaterra de 2018.
Mas Pochettino insistiu que vai conseguir fazer as coisas bem se os adeptos mostrarem alguma paciência.
"Estamos num processo de construção da equipa. Sei muito bem como gerir. O que os adeptos querem é ganhar o jogo e isso nós conseguimos", disse Pochettino.
"O que os adeptos querem é ir a Wembley e isso nós conseguimos. Têm de confiar em mim para gerir da forma que considero ser a melhor para o clube. Temos de respeitar a opinião deles, tal como eles têm de respeitar a minha decisão", defendeu o treinador.
A má forma de Sterling já o tornou um alvo dos adeptos esta época, mas este foi o seu ponto mais baixo.
Novamente excluído da seleção inglesa antes dos próximos particulares, com Brasil e Bélgica, Sterling é uma sombra do jogador que brilhou no Manchester City.
Corre o risco de perder um lugar na equipa inglesa do Euro-2024 e o seu futuro no Chelsea pode estar em dúvida, apesar do apoio de Pochettino.
"Temos de o apoiar, é um jogador fantástico. Ele tem mais de 10 anos de experiência na Premier League", disse o treinador argentino.
"Claro que acho que a contribuição foi boa. Teve um pouco de azar em algumas ações em que devia ter marcado. Mas somos uma equipa e temos de estar presentes para todos. Os adeptos têm o direito de mostrar as suas emoções. Para nós, tentamos dar ênfase aos nossos adeptos para não criticarem. Eles querem o melhor para a nossa equipa e para os nossos jogadores. Mas estamos num projeto. Precisamos de apoio e de acreditar verdadeiramente. Estamos a tentar construir algo", sublinhou Pochettino.