A França ripostou por duas vezes através de Kylian Mbappé, que anulou a vantagem de 2-0 da Argentina em 97 segundos no tempo regularmentar, antes de marcar um terceiro no prolongamento para empatar a contenda em 3-3.
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No entanto, os sul-americanos venceram por 4-2 nas grandes penalidades.
"Estamos muito desapontados, claro, demos tudo. Tivemos de enfrentar muitos obstáculos durante a competição, não desistimos de nada", disse Varane.
"Durante uma hora, não estivemos no jogo. Também podíamos ter ganho. Estou muito orgulhoso deste grupo e de ser francês. Mantemos as nossas cabeças erguidas. Conseguimos voltar a entrar no jogo quando estava complicado".
"Insistimos e acreditamos até ao fim. Quase demos a volta ao jogo, que não nos estava a correr bem. Havia força mental neste grupo, muito coração. Isso permitiu-nos voltar a este jogo. Estamos desapontados mas também orgulhosos", concluiu.
A Argentina foi a melhor equipa no primeiro tempo e chegou ao intervalo com uma vantagem de 2-0, antes de Mbappé nivelar os franceses com golos aos 80 e 81 minutos, naquele que o capitão francês Lloris descreveu como um "jogo de boxe".
"Os argentinos tiveram um grande começo, foram agressivos, usaram todas as facetas do jogo. Fomos um pouco reaccionários todo o jogo", disse o guarda-redes.
A França chegou à final depois de vários jogadores terem falhado treinos devido a um vírus durante a semana passada, mas Lloris recusou-se a usar isso como desculpa.
"Não vamos arranjar desculpas, demos tudo", acrescentou. "É preciso felicitar os rapazes porque não desistimos até ao fim".