Recorde as incidências da partida
A equipa de Dyche parecia destinada a conquistar um ponto valioso quando o golo do português Beto, aos 87 minutos, anulou o golo de Dominic Solanke no Vitality Stadium.
Mas nos segundos finais, o cruzamento de Adam Smith bateu no peito do defesa do Everton, Seamus Coleman, antes de cair na baliza.
O Everton está apenas três pontos acima da zona de despromoção, faltando nove jogos para o fim da luta contra a queda.
Com a possibilidade de uma segunda dedução de pontos por alegadas infrações financeiras, o Everton enfrenta um final de época nervoso, mas Dyche mantém-se confiante.
"Os pontos de interrogação sobre este clube estão aqui há dois anos e meio, três anos", disse.
"Acredito nos jogadores e acredito em mim próprio", acrescentou.
O Everton espera que o veredito sobre um potencial castigo seja proferido em breve, depois de ter visto uma dedução de 10 pontos por ofensas separadas reduzida para seis em recurso.
A seguir, os Toffees deslocam-se a Newcastle e depois defrontam o Burnley, rival na despromoção, em Goodison Park.
"Obviamente, estou frustrado e desiludido com o final do jogo", disse Dyche.
"Num momento tão simples, ficamos confusos e eles marcam um golo do nada. Encontrámos um golo e estou satisfeito com isso, porque é um golo feio e nem sempre se consegue marcar o golo perfeito. Devíamos sair com um ponto, claro, mas não podemos defender assim", lamentou o treinador.
O Bournemouth assumiu a liderança aos 64 minutos, quando Solanke ficou entre James Tarkowski e Ben Godfrey para cabecear o cruzamento de Lloyd Kelly.
O Everton ripostou quando o guarda-redes do Bournemouth, Neto, deixou cair o cruzamento de Dwight McNeil mesmo nos pés do português Beto.
Mas a alegria de Dyche transformou-se em desespero, depois de um auto-golo de Coleman ter enviado o Everton para casa de mãos vazias.